教科书上有或无的库存管理策略，万变不离其宗

相信运筹学运用得最多的地方，是在供应链优化，而在供应链优化里运用最多的地方，是在库存控制里。这篇文章，我们就分门别类，从简单到复杂，从书里有的到书里没有但实际会用的，来聊聊各种各样的库存控制策略。这里头的一部分也是我们面试做计划的候选人的必问问题。懂前面的表明你有好好读过书，懂后面的表明你面对现实问题有好好思考过，而且还能得出不错的方案。

哪些是书里有的呢？就是所谓在数学上漂亮的，能明确列出数学式来计算最优策略的。但之所以能在数学上漂亮，是因为前提苛刻，因而不太实用，但这都是基础。

如果看着看着嫌例子太多，文章太长，请直接跳到最后的策略总结。

好，我们现在开始了！

最简单的情况是：

1. 只用关心单个物料

2. 需求是稳定不变的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采购成本里面没有固定成本，只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是P。

4. 一下单即送到，也就是Leadtime=0.

最优方案是什么？因为通常而言，都希望最小化总成本，包括库存成本和因为短缺而导致的损失两部分。那只要每天都买N PCS，那库存成本和短缺损失都是0，肯定是最优。简单吧~

这里多说两句，后面要用到。库存成本，其实包括在库成本和在途成本。在库成本，就是货物放在仓库的成本。在途成本，就是已经下了单，但是没有送到仓库那些货物的成本。一般的物料不需要很特殊的存放条件，存放的成本几乎可以忽略不计，要算的是资金的积压。逻辑是，这笔钱，如果不用来买存货，而拿去投资，其实可以拿到投资收益，一般给正常的公司都会用10%的年利率来算（什么，很高吗？看看高利贷）。资金积压越久，对应的资金积压成本就越高。

好，现在把情况稍微变复杂一点：

1. 只用关心单个物料

2. 需求是稳定不变的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采购成本里面没有固定成本，只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是p。

4. 下单要等一个固定的时间，也就是Leadtime=T.

最优策略是什么？还是每天下N PCS，只不过要多付T天的资金积压成本，也有可能是货到付款，不用积压钱的。由于这部分成本逃不掉，这是最优解。还是很简单吧？

这里总结第一个规律：见到有Leadtime就相应地提前去采购即可。

好，现在把情况再稍微变复杂一点：

1. 只用关心单个物料

2. 需求是稳定不变的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采购成本里面既有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是p；又有固定成本X，例如送货成本，送1PCS也是送，送很多也是送，又例如开机成本，加工1PCS也是要开机，加工很多也是要开机。

4. 下单要等一个固定的时间，也就是Leadtime=T.

最优策略是什么？每隔一段时间送一个固定的批量，这个时间是T的整数倍，而批量也是N的同样整数倍。这样的话，首先不会导致缺料损失，也减少了每次采购的固定成本。至于这个整数是多少，跟固定成本有关系。固定成本越高，这个整数越大，对吧？数学上也是可以通过求最优的方式来求出这个整数值的，大家自己试一下。

还有一种情况跟这个不一样，但是类似，就是没有固定成本，但是有MOQ(minimum order quantity)，也就是说买的时候，至少要达到某个量。这可能是要买的东西本身体积很小，价值很小，例如螺丝或者电阻电容，也可能因为有阶梯价，采购数量到达一定数量能享受低价。采购策略类似，每次要么不买，一买买一批慢慢用。

这里总结第二个规律：见到固定成本或者MOQ或者阶梯价就改成隔一段时间才买一次大一点的量来满足这段时间。

好，我们继续把情况再稍微变复杂一点：

1. 只用关心单个物料

2. 需求不是稳定不变的，是随时间变化的，但是都是明确知道的，例如某物料每天消耗N(t) PCS。

3. 采购成本里面只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是p。

4. 下单要等一个固定的时间，也就是Leadtime=T.

最优策略是什么？应该是每次需要N(t)的时候，提前T时间去买N(t)，对吧？

好，再复杂一点：

1. 只用关心单个物料

2. 需求不是稳定不变的，是随时间变化的，但是都是明确知道的，例如某物料每天消耗N(t) PCS。

3. 采购成本里面既有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是p；又有固定成本X，例如送货成本，送1PCS也是送，送很多也是送，又例如开机成本，加工1PCS也是要开机，加工很多也是要开机。

4. 下单要等一个固定的时间，也就是Leadtime=T.

最优策略是什么？这次就稍微复杂一点了。因为有固定成本，所以不能每次都买，要算好每次买的时候覆盖后面多久的需求才划算。但是我们知道策略的形式就是，每次买一定数量，这个数量跟后面随时间变化的需求量相关。固定成本越高，这个数量会越大。这部分有的教科书有，有的没有，因为在数学上已经开始变得没那么漂亮了。但是现实中不像前面那几个情况，这个情况很可能出现。需求之所以确定，是因为我们预先定好一个计划，而这个计划在一定时间窗口里面是可以先固定住的。

好，再再复杂一点：

1. 我们要关心多个物料，而这多个物料是有组成关系的，例如我们关心A,B,C三个物料，A是B的子项，B是C的子项。

2. 需求不是稳定不变的，是随时间变化的，但是都是明确知道的，例如C物料每天消耗N(t) PCS。

3. 采购成本里面只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是p。

4. 给每个物料下单都要等一个固定的时间，这个时间会因物料而不同。

最优策略是什么？倒推就好，我们算出对C物料随时间变化的需求，又知道B是C的子项，所以可以算出B物料随时间变化的需求，然后再算出A。然后再每个物料提前一个Leadtime来买就好。这就是最简单的MRP(Material Requirement Planning)，也是这世界上大多数公司都还在用的做物料计划的方法。就是这么简单。

这里总结第三个规律：多个物料有父项子项关系，按照这个关系展开需求即可。

前面说到的这些，都是假设需求是确定的，Leadtime是确定的，然而，现实世界哪有这么确定。我们下面从最简单的情况开始，往不确定的方向走。

第一个情况是：

1. 只用关心单个物料

2. 需求是会围绕某个均值变化的，而且是未知的，例如我们卖西瓜，事先根本不知道今天会有多少人来买

3. 采购成本里面没有固定成本，只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是P。

4. 一下单即送到，也就是Leadtime=0.

5. 这个物料买回来第二天就会坏

最优策略是什么呢？由于需求是未知的，如果备料备少了是有可能的，那会引起短缺损失；而如果我们备多了，会坏掉。所以我们应该事先估算一下需求的分布，有多大的概率会卖出多少。有了这个，我们就可以定出来一个最合适的数量M，使得在期望上总成本最小。这就是著名的“卖报童问题”，因为报纸第二天就没有时效性了，等于废了，大家可以搜一下，也是有标准最优解的。如果因为短缺而导致的损失很大，那M会大一些，稍微多备一点，两者是正相关关系。

这里总结第四个规律：需求不确定的时候，最优采购量取决于短缺成本和过剩成本的均衡。

我们再看复杂一点的情况：

1. 只用关心单个物料

2. 需求是会围绕某个均值变化的，而且是未知的，例如我们卖西瓜，事先根本不知道今天会有多少人来买

3. 采购成本里面没有固定成本，只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是P。

4. 一下单即送到，也就是Leadtime=0.

5. 这个物料买回来过一段时间会坏。

最优策略是什么？这个跟卖报童问题类似，只不过东西买回来不会马上坏掉。直觉就能告诉我们，会比卖报童问题的M要大一些。能存放的天数越大，这个值就会越大。大多少，数学已经变得难算了，这时候拍拍脑袋定个值就是个不错的近似解了。教科书一般已经不教这个了。

再变化一下：

1. 只用关心单个物料

2. 需求是会围绕某个均值变化的，而且是未知的，例如我们卖西瓜，事先根本不知道今天会有多少人来买

3. 采购成本里面没有固定成本，只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是P。

4. 一下单即送到，也就是Leadtime=0.

5. 这个物料买回来不会坏。

最优策略是什么？因为买回来不会坏，所以可以多买一点，以减少短缺损失，但是也不好买太多，否则，资金积压成本会过高。这时候我们就会定一个所谓的安全库存，来吸收需求的不确定性。具体做法是，每天我们都会把库存量补到一个数，这个数就是卖报童问题的M。例如说，今天卖掉了Y PCS，我们就补会去Y PCS，今天全卖掉M PCS了，我们就补M PCS。这个就叫“Order Up to”策略，只不过因为Leadtime=0，所以可以每天都补。

这里总结第五个规律：如果需求有不确定性，且库存能放，则设置安全库存，安全库存还是取决于短缺成本和过剩成本的均衡。

再复杂一点，如果Leadtime不等于0，也就是

1. 只用关心单个物料

2. 需求是会围绕某个均值变化的，而且是未知的，例如我们卖西瓜，事先根本不知道今天会有多少人来买

3. 采购成本里面没有固定成本，只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是P。

4. 一下单即送到，也就是Leadtime=T.

5. 这个物料买回来不会坏。

那么最优策略依然是“Order Up to”策略，只不过每天消耗完的需求，要到T天之后才补得回来，那这T天内的波动就会大一些，所以安全库存水位会高一点。

再复杂一点，增加固定成本，也就是

1. 只用关心单个物料

2. 需求是会围绕某个均值变化的，而且是未知的，例如我们卖西瓜，事先根本不知道今天会有多少人来买

3. 采购成本里面既有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是p；又有固定成本X。

4. 一下单即送到，也就是Leadtime=T.

5. 这个物料买回来不会坏。

这里运用规律二和规律五即可。最优策略还是“Order Up to”，只不过不是每天都补货，而是隔一段时间才补一次，因为补太频繁，固定成本会很高。而补的数量就是这些天的总需求。

再复杂一点，需求不仅仅围绕某个均值变，也就是变成

1. 只用关心单个物料

2. 需求是个时间序列，有趋势，有周期性，也有扰动。这个假设，可以囊括所有情况，只不过不同情况的趋势，周期性和扰动的相对大小不大一样而已。

3. 采购成本里面既有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是p；又有固定成本X。

4. 一下单即送到，也就是Leadtime=T.

5. 这个物料买回来不会坏。

这时候我们可以想办法化未知为已知。时间序列里面，趋势和周期性是可以很好地通过移动平均来求出来的，这部分需求是确定的，就可以按照前面聊过的方式来求最优策略。剩下的扰动这部分，就可以按照前一个问题来求。两者相加即可。

这里总结第六个规律：如果需求是时间序列，一定可以分解成趋势+周期性+扰动，其中趋势+周期性是确定的，扰动是不确定的。

刚刚讲的是不确定性来自于需求，还有一种不确定性是来自于Leadtime，最简单的情况是：

1. 只用关心单个物料

2. 需求是稳定不变的，例如某物料每天消耗N PCS。

3. 采购成本里面没有固定成本，只有变动成本，也就是每买1 PCS的价格是P。

4. Leadtime不是一个固定值

5. 这个物料买回来不会坏。

这时候，就需要评估Leadtime的分布了。但最终策略会跟前面一样，用“Order Up to”策略，靠安全库存来吸收Leadtime的不确定性，Leadtime越不确定，安全库存就需要越多。

特别像最近电子料市场特别紧张，Leadtime很多从几个月变成了超过一年的，还经常跳票，那就需要备更多的安全库存。

这里总结第七个规律：如果Leadtime有不确定性，且库存能放，则设置安全库存，安全库存还是取决于短缺成本和过剩成本的均衡。

现在我们总结一下七个规律：

1. 见到有Leadtime就相应地提前去采购即可。

2. 见到固定成本或者MOQ或者阶梯价就改成隔一段时间才买一次大一点的量来满足这段时间。

3. 多个物料有父项子项关系，按照这个关系展开需求即可。

4. 需求不确定的时候，最优采购量取决于短缺成本和过剩成本的均衡。

5. 如果需求有不确定性，且库存能放，则设置安全库存，安全库存还是取决于短缺成本和过剩成本的均衡。

6. 如果需求是时间序列，一定可以分解成趋势+周期性+扰动，其中趋势+周期性是确定的，扰动是不确定的。

7. 如果Leadtime有不确定性，且库存能放，则设置安全库存，安全库存还是取决于短缺成本和过剩成本的均衡。

懂得以上规律，就能应对99.99%的情况了。当然，我这里因为边幅原因，没把每一个如何求最优的数学表达式写出来，但是有数学基础和数学建模基础的同学都能自己推导出来。而没有的同学，也可以按照里面提到的思路，毛估估地拍个脑袋也大差不差。市面上的各种策略，其实也都是上面几条的整合和具体化，万变不离其宗。

最后，我出一个我们现实中遇到的问题，看看大家能不能运用上面的七个规律来想出对应的方案。它虽然看着不像，但事实上已经被这七个规律覆盖到了。问题是这样的：

我们有一个物料，每次来料都几乎有质量问题，有问题都要去返修。这个物料是找供应商订做的，说复杂也不复杂，我们也给出了工艺要求和指导，但是供应商就是不好好做，我们专门派人去盯着，供应商就做得好，不派人去盯，就做不好。那如果我们一直不派人去盯，来料经常有问题，就要一直返修，修一次不行，多修几次，时间过去了，就导致生产缺料了。那你说，我们应该用怎样的库存管理策略呢？